Dénombrement

Terminale · SpécialitéChapitre 9

L'essentiel

1Union d'événements

Définition 1

Le cardinal d'un ensemble $A$, noté $\operatorname{Card}(A)$, est son nombre d'éléments.

Propriété 1

Soient $A$ et $B$ deux ensembles :

$$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B).$$

$$\begin{aligned}\operatorname{Card}(A\cup B)&=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)\\&\phantom{=}\;-\operatorname{Card}(A\cap B).\end{aligned}$$

Propriété 2

Soient $A_1, A_2, \dots, A_n$ des ensembles deux à deux disjoints :

$$\operatorname{Card}(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)=\operatorname{Card}(A_1)+\operatorname{Card}(A_2)+\dots+\operatorname{Card}(A_n).$$

$$\begin{aligned}\operatorname{Card}(A_1\cup\cdots\cup A_n)&=\operatorname{Card}(A_1)+\cdots\\&\phantom{=}\;+\operatorname{Card}(A_n).\end{aligned}$$

2Produit cartésien

Définition 2

Soient $A_1, A_2, \dots, A_n$ des ensembles.

Le produit cartésien $A_1\times A_2\times\dots\times A_n$ est l'ensemble des $n$-uplets $(a_1 ; a_2 ; \dots ; a_n)$ avec $a_i\in A_i$.

On note $A^k=A\times\dots\times A$ ($k$ fois).

Propriété 3

Le cardinal d'un produit est le produit des cardinaux :

$$\operatorname{Card}(A_1\times\dots\times A_n)=\operatorname{Card}(A_1)\times\dots\times\operatorname{Card}(A_n).$$

$$\begin{aligned}\operatorname{Card}(A_1\times\cdots\times A_n)&=\operatorname{Card}(A_1)\times\cdots\\&\phantom{=}\;\times\operatorname{Card}(A_n).\end{aligned}$$

En particulier, si $\operatorname{Card}(A)=n$, alors $\operatorname{Card}(A^k)=n^k$.

3Arrangements et permutations

Définition 3

$n!=1\times2\times3\times\dots\times(n-1)\times n$ pour $n\geqslant1$.

Par convention, $0!=1$.

Définition 4

Soit $A$ un ensemble de cardinal $n$ et $k\leqslant n$.

Un $k$-arrangement de $A$ est un $k$-uplet sans répétition d'éléments de $A$.

Un $n$-arrangement s'appelle une permutation.

Propriété 4

Le nombre de $k$-arrangements d'un ensemble à $n$ éléments est

$$\frac{n!}{(n-k)!}=n\times(n-1)\times\dots\times(n-k+1).$$

$$\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1).$$

Il y a $n!$ permutations d'un ensemble à $n$ éléments.

4Combinaisons

Définition 5

Une partie (ou combinaison) d'un ensemble $A$ est un ensemble inclus dans $A$.

On note $\binom{n}{k}$ le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.

L'ordre n'a pas d'importance dans une partie.

Propriété 5$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\dots+\binom{n}{n}=2^n$$ $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Propriété 6$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$ $$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$$

Cours détaillé

Le cours pas à pas : des exemples pour deviner chaque propriété, puis les démonstrations.
Les solutions et les démonstrations s'affichent quand tu le décides.

Le cours détaillé est réservé : entre le code.